Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+4x．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，并求出函數(shù)的值域；
（3）若k∈R，試討論方程f（x）=k實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，及x≤0時(shí)，f（x）=x²+4x，可以設(shè)x＞0，可得-x＜0，代入上式即可求解；
（2）利用函數(shù)的解析式，利用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用圖象求出其值域；
（3）方程f（x）=k，方程有解的問(wèn)題利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解；

解答：解：（1）設(shè)x＞0，可得-x＜0，∵當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+4x，
∴f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x，∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），
∴f（x）=f（-x）=x²-4x，
∴f(x)=

x2+4x，x∈(-∞，0] x2-4x，x∈(0，+∞)

…（4分）

（2）圖象如圖
如上圖可知：f（x）的值域?yàn)椋褐涤驗(yàn)閒（x）∈[-4，+∞）…（8分）
（3）方程f（x）=k實(shí)數(shù)解，令y=k與f（x）有交點(diǎn)，
利用上圖可知：當(dāng)k∈（-∞，-4）時(shí)，方程無(wú)解；
當(dāng)k∈（0，+∞）或k=-4時(shí)，方程有兩解；
當(dāng)k=0時(shí)，方程有三解；
當(dāng)k∈（-4，0）時(shí)，方程有四解；                    …（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查偶函數(shù)的性質(zhì)及其解析式的求法，利用數(shù)形結(jié)合的方法求方程解的個(gè)數(shù)，是一道基礎(chǔ)題；