Question

設(shè)曲線y=（ax-1）e^x在點(diǎn)A（x₀，y₁）的切線為l₁，曲線y=

1-x

ex

在點(diǎn)B（x₀，y₂）的切線為l₂，若存在x0∈[-

1

2

，

3

2

]，使得l₁⊥l₂，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[1，

14

5

]

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得kl1，kl2．存在x0∈[-

1

2

，

3

2

]，使得l₁⊥l₂，可得(ax0+a-1)ex0•

x0-2

ex0

=-1在x0∈[-

1

2

，

3

2

]有解．化為a=

x0-3

(x0+1)(x0-2)

，x0∈[-

1

2

，

3

2

]．再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可．

解答：解：對(duì)于曲線y=（ax-1）e^x，y′=（ax+a-1）e^x，∴kl1=(ax0+a-1)ex0．
對(duì)于曲線y=

1-x

ex

，y′=

x-2

ex

，∴kl2=

x0-2

ex0

．
∵存在x0∈[-

1

2

，

3

2

]，使得l₁⊥l₂，∴(ax0+a-1)ex0•

x0-2

ex0

=-1在x0∈[-

1

2

，

3

2

]有解．
化為a=

x0-3

(x0+1)(x0-2)

，x0∈[-

1

2

，

3

2

]．
a′=

-(x0-1)(x0-5)

(x0+1)2(x0-2)2

，
當(dāng)x0∈[-

1

2

，1)時(shí)，a′＜0，函數(shù)a單調(diào)遞減；當(dāng)x0∈(1，

3

2

]時(shí)，a′＞0，函數(shù)a單調(diào)遞增．
因此函數(shù)a在x₀=1時(shí)取得最小值，a（1）=1；
又a(-

1

2

)=

14

5

，a(

3

2

)=

6

5

，因此函數(shù)a的最大值為a(-

1

2

)=

14

5

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，

14

5

]．
故答案為[1，

14

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、幾何意義、相互垂直的直線的斜率之間的關(guān)系，屬于難題．