Question

17．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ 2x-y-2≤0\\ x-2y+2≥0\end{array}\right.$，則x-3y的最小值為-4，點(diǎn)P（x，y）所組成的平面區(qū)域的面積為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)z=x-3y，則得y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：
平移直線y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
由圖象可知當(dāng)直線y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$的截距最大，
此時(shí)z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（2，2）．
將A（2，2）代入目標(biāo)函數(shù)z=x-3y，
得z=2-3×2=2-6=-4．
∴目標(biāo)函數(shù)z=x-3y的最小值是-4．
∵B（0，1），C（1，0），D（2，0），
∴△ABC的面積S=$\frac{（1+2）×2}{2}$-$\frac{1}{2}×1×1$$-\frac{1}{2}×1×2$=$\frac{3}{2}$，
故答案為：-4，$\frac{3}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．