Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為1，對任意的n∈N*，定義b_n=a_n+1-a_n，
(1)若b_n=n+1，求a₄；
(2)若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=a，b₂=b（ab≠0），
①當a=1，b=2時，求數(shù)列{b_n}的前3n項和；
②當a=1時，求證：數(shù)列{a_n}中任意一項的值均不會在該數(shù)列中出現(xiàn)無數(shù)次。

Answer 1

解：(1)6，；
(2)①因為，
所以，對任意的n∈N*有，
即數(shù)列{b_n}各項的值重復出現(xiàn)，周期為6．
數(shù)列{b_n}的前6項分別為，且這六個數(shù)的和為7．
設數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，
則當n=2k(k∈N*)時，；
當n=2k+1(k∈N*)時，

，
所以，當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，；
②由①知：對任意的n∈N*有，
又數(shù)列{b_n}的前6項分別為，且這六個數(shù)的和為；
設(其中i為常數(shù)且i∈{1，2，3，4，5，6})，
所以

，
所以，數(shù)列均為以為公差的等差數(shù)列，
因為b＞0時，；b＜0 時，，
所以是公差不為零的等差數(shù)列，其中任何一項的值最多在該數(shù)列中出現(xiàn)一次，
所以數(shù)列{a_n}中任意一項的值最多在此數(shù)列中出現(xiàn)6次，
即任意一項的值不會在此數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次．