Question

某市統(tǒng)計(jì)局就本地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在[1000，1500）單位：元）
（1）估計(jì)居民月收入在[1500，2000）的概率；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（3）若將頻率視為概率，從本地隨機(jī)抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月收入在[2500，3500）的居民數(shù)X的分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）利用頻率是縱坐標(biāo)乘以組距，可求居民月收入在[1500，2000）的概率；
（2）利用頻率是縱坐標(biāo)乘以組距，中位數(shù)在[2000，2500），設(shè)中位數(shù)為x，建立方程可得結(jié)論；
（3）確定X～B（3，0.4），求出概率，可得分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）依題意及頻率分布直方圖知，居民月收入在[1500，2000）的概率約為0.0004×500=0.2．    …（2分）
（2）頻率分布直方圖知，中位數(shù)在[2000，2500），設(shè)中位數(shù)為x，
則0.0002×500+0.0004×500+0.0005×（x-2000）=0.5，解得x=2400   …（6分）
（3）居民月收入在[2500，3500）的概率為（0.0005+0.0003）×500=0.4．
由題意知，X～B（3，0.4），…（8分）
因此P（X=0）=

C

0 3

×0．63=0.216，P（X=1）=

C

1 3

×0．62×0.4=0.432，
P（X=2）=

C

2 3

×0.6×0．42=0.288，P（X=3）=

C

3 3

×0．43=0.064，
故隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

…（10分）
X的數(shù)學(xué)期望為EX=0×0.216+1×0.432+2×0.0288+3×0.064=1.2．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了頻率分布直方圖，考查分布列與數(shù)學(xué)期望，解決頻率分布直方圖的有關(guān)問題時(shí)，要注意的是直方圖的縱坐標(biāo)是的含義，要求某范圍內(nèi)的頻率應(yīng)該是縱坐標(biāo)乘以組距，屬于基礎(chǔ)題．