Question

將拋物線y²＝2x按＝(，0)平移后，得到拋物線C，若C與直線L：x＋y＋m＝0(m≥0)交于A、B不同兩點，設拋物線C的焦點為F，(1)試求u＝m的值(用m表)(2)當u取最大值時，試求L的方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)已易C的方程為y2＝2(x＋)，焦點為F(0，0)． 　　消去y得：x2＋2(m－1)x＋m2－1＝0 　　由△＝4(m－1)2－4(m2－1)＞0得m＜1 　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達定理 　　∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－1＋2m(1－m)＋m2＝2m－1 　　∴·＝·＝x1x2＋y1y2＝m2＋2m－2 　　又拋物線C的準線方程為x＝－1，由拋物線定義 　　＝＝x1＋1 　　＝＝x2＋1 　　∴·＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝m2－2m＋2 　　∴u＝m·－·＝m3－3m2＋2 　　(2)∴＝3m2－6m＝3m(m－2) 　　∵m≥0且m＜1 　　即0≤m＜1 　　∴＝3m(m－2)≤0 　　∴u＝m3－3m2＋2在[0，1]單調(diào)減函數(shù)． 　　∴當m＝0時，umax＝2，L方程：x＋y＝0