Question

某同學的數學研究性學習課題是：在校內一塊不規(guī)則土地OABC（測繪圖如圖所示）規(guī)劃一個矩形運動場地．經過測量發(fā)現(xiàn)AB⊥BC，OA∥BC，曲線段OC可近似看作是以點O為頂點且開口向上的拋物線的一段，OA=20m，AB=BC=40m．
（1）該同學在測繪圖上建立了以O為原點，直線AO為x軸的直角坐標系，請幫他計算曲線段OC對應的函數關系式；
（2）如果矩形運動場地BDEF的相鄰兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點E落在曲線段OC上，該同學應如何規(guī)劃才能使運動場地面積最大？

Answer 1

考點：拋物線的應用

專題：應用題

分析：（1）建立平面直角坐標系，設曲線段OC所在的拋物線方程，利用點C的坐標為（20，40），即可求出拋物線的方程；
（2）設矩形運動場在曲線段OC上的頂點（x，

1

10

x2），表示出矩形的面積S關于x的函數，利用求導即可求得使面積S最大時的x的值，則運動場地的長和寬可求．

解答： 解：（1）建立平面直角坐標系如圖所示，設曲線段OC所在的拋物線方程為y=ax²（a＞0），

由已知得點C的坐標為（20，40），代入方程得：a=

1

10

．
∴拋物線的方程為y=

1

10

x2；
（2）設矩形運動場在曲線段OC上的頂點（x，

1

10

x2），則矩形面積：
S=(20+x)(40-

1

10

x2)=-

1

10

x3-2x2+40x+800（0≤x＜20），
∴S′=-

1

10

(x+20)(3x-20)，
令S′=0，可得x=-20或x=

20

3

．
∵0≤x＜20，∴x=

20

3

．
當0＜x＜

20

3

時，S′＞0；當x＞

20

3

時，S′＜0．
∴x=

20

3

是S的極大值點，也是最大值點．
答：當矩形的長為

80

3

m．寬為

320

9

m時，運動場地面積最大．

點評：本題考查拋物線的應用，考查了數學建模思想方法，訓練了利用導數求最值，是中檔題．