Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（3m+1）x+3m（m＞0）的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)A，B且|AB|=2．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-λx，x∈[0，+∞），若g（x）圖象上的點(diǎn)都在直線y=1上方，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是f（x）=0的兩個(gè)不同實(shí)根，所以△＞0，所以（3m+1）²-12m＞0，所以m≠
又x₁+x₂=-（3m+1），x₁x₂=3m
∴|AB|=|x₁-x₂|=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（3m+1）²-4×3m=4
∴3m²-2m-1=0
∴m=1或m=-
∵m＞0，
∴m=1；
（2）由（1）知m=1，則f（x）=x²+4x+3，∴g（x）=x²+4x+3-λx
∵x∈[0，+∞），g（x）圖象上的點(diǎn)都在直線y=1上方，
∴x²+4x+3-λx＞1在[0，+∞）上恒成立
①當(dāng)x=0時(shí)，λ∈R；
②當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，λ＜+4恒成立
∵x∈（0，+∞）時(shí)，≥
∴λ＜+4
綜上知，λ的取值范圍是（-∞，+4）．
分析：（1）利用韋達(dá)定理及弦長公式，根據(jù)|AB|=2，即可求實(shí)數(shù)m的值；
（2）將x∈[0，+∞），g（x）圖象上的點(diǎn)都在直線y=1上方，轉(zhuǎn)化為x²+4x+3-λx＞1在[0，+∞）上恒成立，分類討論，利用分離參數(shù)法，即可確定λ的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查恒成立問題，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，考查基本不等式，綜合性強(qiáng)．