定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log23且對(duì)任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并證明;
(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(1)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),
∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),①
令x=y(tǒng)=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),
即f(0)=0.
令y=-x,代入①式,得f(x-x)=f(x)+f(-x),
又f(0)=0,
則有0=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)對(duì)任意x∈R成立.
∴f(x)是奇函數(shù).
(2)f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),
又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù),
∴f(x)在R上是增函數(shù),又由(1),f(x)是奇函數(shù),可知f(k·3x)<-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2),
∴k·3x<9x-3x+2對(duì)任意x∈R恒成立,
∴k<3x+-1對(duì)任意x∈R恒成立,
而3x+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)3x=時(shí)等號(hào)成立),
∴k<2-1,
綜上所述k<2-1時(shí)f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0對(duì)任意x∈R恒成立.
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2-x | x |
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3 | 2 |
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1 |
f(-2-an) |
1 |
2 |
1 |
a1a2 |
1 |
a2a3 |
1 |
anan+1 |
4 |
3 |
1 |
an+1 |
1 |
an+2 |
1 |
a2n |
12 |
35 |
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1 |
f(n) |
1 |
2n |
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