Question

已知銳角△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)的三邊分別為a、b、c，兩向量，滿足．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）求函數(shù)的最大值以及此時角A的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，，且，
∴（a²+c²-b²）tanB-ac=0，即•tanB=，
又cosB=，tanB=，
∴sinB=，
∵B為銳角，∴B=；…（6分）
（Ⅱ）∵B=，∴A+C=，即C=-A，
則y=2sin²A+cos=2sin²A+cos（-2A）
=1-cos2A+cos2A+sin2A=sin2A-cos2A+1=sin（2A-）+1，…（9分）
∵，
∴當(dāng)時，即時，函數(shù)的最大值為2．…（12分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)兩向量的坐標(biāo)，由兩向量垂直時數(shù)量積為0列出關(guān)系式，變形后利用余弦定理及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，可得出sinB的值，由三角形為銳角三角形可得出B為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（Ⅱ）由B的度數(shù)，得到A+C的度數(shù)，用A表示出C，代入所求的式子中，第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，合并整理后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由A的范圍，求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而確定出函數(shù)的最大值，以及此時A的度數(shù)．
點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運算，余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．