Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個焦點是F₂（2，0），且b=

3

a．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設經過焦點F₂的直線l的一個法向量為（m，1），當直線l與雙曲線C的右支相交于A，B不同的兩點時，求實數m的取值范圍；并證明AB中點M在曲線3（x-1）²-y²=3上．
（3）設（2）中直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點，問是否存在實數m，使得∠AOB為銳角？若存在，請求出m的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據半焦距c和a與b的關系聯立方程求得a和b，則雙曲線方程可得．
（2）把直線l與雙曲線方程聯立消去y，根據判別式大于0判斷出直線與雙曲線定有交點，進而根據韋達定理求得焦點橫坐標的和與積得表達式，根據雙曲線的性質求得m的范圍．設A，B的坐標，則可知其中點的坐標，代入曲線3（x-1）²-y²=3等式成立，可判斷出AB的中點在此曲線上．
（3）設存在實數m，使∠AOB為銳角，根據

OA

•

OB

＞0判斷出x₁x₂+y₁y₂＞0，根據（2）中求得x₁x₂的表達式，進而可去知y₁y₂的表達式，進而求得根據x₁x₂+y₁y₂＞0求得m的范圍，結果與m²＞3矛盾，假設不成立，判斷出這樣的實數不存在．

解答：解：（1）c=2c²=a²+b²
∴4=a²+3a²∴a²=1，b²=3，∴雙曲線為x2-

y2

3

=1．
（2）l：m（x-2）+y=0由

y=-mx+2m x2- y2 3 =1

得（3-m²）x²+4m²x-4m²-3=0
由△＞0得4m⁴+（3-m²）（4m²+3）＞012m²+9-3m²＞0即m²+1＞0恒成立
又

x1+x2＞0 x1•x2＞0

4m2

m2-3

＞0

4m2+3

m2-3

＞0
∴m²＞3∴m∈(-∞，-

3

)∪(

3

，+∞)
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2

2

=

2m2

m2-3

y1+y2

2

=-

2m3

m2-3

+2m=

-6m

m2-3

∴AB中點M(

2m2

m2-3

，-

6m

m2-3

)
∵3(

2m2

m2-3

-1)2-

36m2

(m2-3)2

=3×

(m2+3)2

(m2-3)2

-

36m2

(m2-3)2

=3•

m4+6m2+9-12m2

(m2-3)2

=3
∴M在曲線3（x-1）²-y²=3上．

（3）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設存在實數m，使∠AOB為銳角，則

OA

•

OB

＞0
∴x₁x₂+y₁y₂＞0
因為y₁y₂=（-mx₁+2m）（-mx₂+2m）=m²x₁x₂-2m²（x₁+x₂）+4m²
∴（1+m²）x₁x₂-2m²（x₁+x₂）+4m²＞0
∴（1+m²）（4m²+3）-8m⁴+4m²（m²-3）＞0即7m²+3-12m²＞0
∴m2＜

3

5

，與m²＞3矛盾
∴不存在

點評：本題主要考查了雙曲線的應用，考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．