Question

定義F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（I）令函數(shù)f(x)=F(3，log2(2x-x2+4))，寫出函數(shù)f（x）的定義域；
（II）令函數(shù)g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C，若存在實(shí)數(shù)b使得曲線C在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（III）當(dāng)x，y∈N*且x＜y時(shí)，求證F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

（I）log2(2x-x2+4)＞0，即2x-x²+4＞1得函數(shù)f（x）的定義域是（-1，3），
（II）g（x）=F（1，log₂（x²+ax²+bx+1））=x³+ax²+bx+1，
設(shè)曲線C₂在x₀（-4＜x＜-1）處有斜率為-8的切線，
又由題設(shè)log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g'（x）=3x²+2ax+b，
∴存在實(shí)數(shù)b使得

3x02+2ax0+b=-8① -4＜x0＜-1② x03+ax02+bx0+1＞1③

有解，
由①得b=-8-3

x

20

-2ax0，代入③得-2

x

20

-ax0-8＜0，
∴由

2 x 20 +ax0+8＞0 -4＜x0＜-1

有解，
得a＜2(-x0)+

8

(-x0)

，因?yàn)?4＜x₀＜-1，所以2(-x0)+

8

(-x0)

∈[8，10)，
當(dāng)a＜10時(shí)，存在實(shí)數(shù)b，使得曲線C在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線．
（III）令h(x)=

ln(1+x)

x

，x≥1，由h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
又令p(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，x＞0，∴p′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0，
∴p（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減．∴當(dāng)x＞0時(shí)有p（x）＜p（0）=0，∴當(dāng)x≥1時(shí)有h'（x）＜0，∴h（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
∴1≤x＜y時(shí)，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）^y＞（1+y）^x
∴當(dāng)x，y∈N^*且x＜y時(shí)，F(xiàn)（x，y）＞F（y，x）．