Question

已知兩點F₁（-2，0），F₂（2，0），曲線C₁上的動點P滿足．
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設曲線C₂的方程為|x|+|y|=m（m＞0），當C₁和C₂有四個不同的交點時，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的定義可得2a=可求a，由c=2及b²=a²-c²可求b，進而可求解橢圓方程
（2）分類討論，化簡已知方程可得，曲線C₂是以（m，0），（0，-m），（-m，0），（0，-m）四個點為頂點的正方形，若使C₁和C₂有四個不同的交點，且曲線C₁，C₂都是關于x軸，y軸對稱的曲線，則可得曲線x+y=m（0＜x≤m）與C₁有且僅有一個交點，即方程組有且僅有一組解，即關于x的方程3x²-4mx+2m²-8=0在區(qū)間（0，m]上有且僅有一個實數根，根據二次函數的性質分類進行求解
解答：解：（1）∵點F₁（-2，0），F₂（2，0）
由題意=4，且
∴曲線C₁是以F₁（2，0），F₂（-2，0）為焦點，長軸為4的橢圓
設橢圓C₁的方程為（a＞b＞0）
∵，b²=a²-c²=4
∴曲線C₁的方程為
（2）∵曲線C₂的方程為|x|+|y|=m（m＞0）
∴當x＞0，y≥0時，曲線C₂的方程為x+y=m（m＞0）
當x≤0，y＞0，曲線C₂的方程為-x+y=m（m＞0）
當x＜0，y≤0，曲線C₂的方程為-x-y=m（m＞0）
當x≥0，y＜0，曲線C₂的方程為x-y=m（m＞0）
∴曲線C₂是以（m，0），（0，-m），（-m，0），（0，-m）四個點為頂點的正方形
∵C₁和C₂有四個不同的交點，且曲線C₁，C₂都是關于x軸，y軸對稱的曲線
∴曲線x+y=m（0＜x≤m）與C₁有且僅有一個交點
∴有且僅有一組解
即關于x的方程3x²-4mx+2m²-8=0在區(qū)間（0，m]上有且僅有一個實數根x
設f（x）=3x²-4mx+2m²-8
①，解得
②，解得
綜上得
點評：本題主要考查了由橢圓的定義求解橢圓的方程及直線與曲線在閉區(qū)間上的交點個數的應用，注意分類討論思想的應用