Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，，且，{b_n}為等比數(shù)列．
（Ⅰ）求實數(shù)λ及數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，求S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）當n≥2，n∈N^*時，
∴，
即
∴λ=1
∴b_n=2b_n-1
而
∴b_n=2×2^n-1=2ⁿ
∴a_n=n.2ⁿ-n．
（Ⅱ）S_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ-（1+2+3++n）
令T_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ，
則2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴++n×2ⁿ⁺¹兩式相減得
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2∴
分析：（Ⅰ）當n≥2，n∈N^*時，，，故λ=1，b_n=2b_n-1，由此能求出實數(shù)λ及數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ-（1+2+3+…+n），令T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，由錯位相減法能求出S_n．
點評：第（Ⅰ）題考查數(shù)列的通項公式，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化；第（Ⅱ）題考查數(shù)列前n項和的求法，解題時要注意錯位相減法的合理運用．