Question

（2010•宿州三模）（理）市教育局舉行科普知識競賽，參賽選手過第一關(guān)需要回答三個(gè)問題，其中前兩個(gè)問題回答正確各得10分，第三個(gè)問題回答正確得20分，若回答錯(cuò)誤均得0分，總分不少于30分為過關(guān)．如果某位選手回答前兩個(gè)問題正確的概率都是

4

5

，回答第三個(gè)問題正確的概率是

3

5

，且各題回答正確與否互不影響，記這位選手回答這三個(gè)問題的總得分為X．
（I）求這位選手能過第一關(guān)的概率；
（Ⅱ）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）“這位選手能過第一關(guān)”即得30分和40分兩類；利用互斥事件的概率和公式及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式求出事件的概率．
（II）求出隨機(jī)變量X可取的值；利用互斥事件的概率和公式及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式求出隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率；列出分布列；利用隨機(jī)變量的期望公式求出x的期望．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)“這位選手能過關(guān)”為事件A，
則P（A）=P（X=30）+P（X=40）=

C

1 2

×

4

5

×

1

5

×

3

5

+

4

5

×

4

5

×

3

5

=

72

125

．（5分）
（II）X可能取值為0，10，20，30，40．分布列為
P（X=0）=(1-

4

5

)×(1-

4

5

)×(1-

3

5

)=

2

125

P（X=10）=

C

1 2

×

4

5

×(1-

4

5

)×(1-

3

5

)=

16

125

P（X=20）=

4

5

×

4

5

×(1-

3

5

)+(1-

4

5

)×(1-

4

5

)×

3

5

=

35

125

P（X=30）=

C

1 2

×

4

5

×

1

5

×

3

5

=

24

125

P（X=40）=

4

5

×

4

5

×

3

5

=

48

125

所以x的分布列為

X	0	10	20	30	40
P	2 125	16 125	35 125	24 125	48 125

EX=0×

2

125

+10×

16

125

+20×

35

125

+30×

24

125

+40×

48

125

=28．（12分）

點(diǎn)評：本題考查互斥事件的概率和公式及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式、考查隨機(jī)變量的分布列的求法、考查隨機(jī)變量的期望公式．