Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

3

）+cos（2x-

π

6

）+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，由此求得最小正周期．
（2）由（1）得到的表達(dá)式，結(jié)合當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，求出相位的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的公式，即可得到函數(shù)的最大值與最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

3

）+cos（2x-

π

6

）+2cos²x-1
=sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

+cos2xcos

π

6

+sin2xsin

π

6

+cos2x （3分）
=sin2x+cos2x           （4分）
=

2

sin（2x+

π

4

）               （5分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．（6分）
（2）∵f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數(shù)，在區(qū)間[

π

8

，

π

4

]上是減函數(shù)，（8分）
又f(-

π

4

)=-1，f(

π

8

)=

2

，f(

π

4

)=1，（11分）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值為

2

，最小值為-1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用，余弦函數(shù)的性質(zhì)及和差角公式在求值中的應(yīng)用．