Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知側(cè)面，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=.
(1) 求證：C₁B⊥平面ABC；
（2）設(shè) =l(0≤l≤1)，且平面AB₁E與BB₁E所成的銳二面角  
的大小為30°，試求l的值.

Answer 1

(1)證明見解析；（2）

解析試題分析：(1)利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.(2)證明線面垂直，需證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3)把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;(4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.
試題解析：1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7c/47/7c847d168062d2ec473deda985ae72c4.png" style="vertical-align:middle;" />側(cè)面,側(cè)面，故,
在中, 由余弦定理得：
，
所以，   3 分 
故,所以,而平面.  5分
（2）由（1）可知，兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線為
 軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則，,．  7分
所以,所以, 
則．設(shè)平面的法向量為，
則由,得,即，
令，則是平面的一個(gè)法向量．    10分
側(cè)面,是平面的一個(gè)法向量，
.
兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以=1或（舍去）.    12分
考點(diǎn)：（1）證明直線與平面垂直；（2）利用空間向量解決二面角問題.