Question

20．設f（x）=（m+1）x²+2mx+1．問：
（1）當m取何值時，f（x）為偶函數？
（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函數，求m的范圍；
（3）若不等式f（x）≥0的解集是R．求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）可假設f（x）為偶函數，便有f（-x）=f（x），然后根據多項式相等時，對應項系數相等即可得出m值；
（2）先判斷f（x）是否為二次函數，從而判斷m=-1和m≠-1：m=-1時容易判斷不合條件，而m≠-1時，原函數便是二次函數，這樣需滿足$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{-\frac{m}{m+1}≤1}\end{array}\right.$，解該不等式組即得m的范圍；
（3）討論過程同（2），可判斷m≠-1，并且m要滿足$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，從而解該不等式組即可得出m的范圍．

解答 解：（1）若f（x）為偶函數，則：f（-x）=（m+1）x²-2mx+1=（m+1）x²+2mx+1；
∴-2m=2m；
∴m=0；
即m=0時，f（x）為偶函數；
（2）①若m=-1，則f（x）=-2x+1，該函數在[1，+∞）上是減函數，即這種情況不存在；
②若m≠-1，若f（x）在[1，+∞）上為增函數，則：
$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{-\frac{m}{m+1}≤1}\end{array}\right.$；
解得$m≥-\frac{1}{2}$；
∴m的范圍為$[-\frac{1}{2}，+∞）$；
（3）①若m=-1，f（x）=-2x+1，顯然，f（x）≥0的解集不會是R，不滿足條件；
②若m≠0，若不等式f（x）≥0的解集為R，則：
$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{△=4{m}^{2}-4（m+1）≤0}\end{array}\right.$；
解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}≤m≤\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
∴m的范圍為：[$\frac{1-\sqrt{5}}{2}，\frac{1+\sqrt{5}}{2}$]．

點評 考查偶函數的定義及判斷方法和過程，一次函數的單調性，二次函數的對稱軸，二次函數的單調性，以及二次函數f（x）≥0恒成立時要滿足的條件．