Question

已知函數(shù)，
（I）當a=1時，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求實數(shù)c的取值范圍；
（II）當時，求證：對任意的x∈[0，1]，g^/（x）≤1的充要條件是；

Answer 1

解：（1）當a=1時，，
g'（x）=-x²+x+c∵g（x）在（-1，1）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立
∴-x²+x+c≥0在（-1，1）上恒成立∴c≥2
（2）設g'（x）=f（x），則
f（x）=-a²（x-）²+c+
∵a
∴即
當x=時，[f（x）]max=f（）=c+
充分性：∵
∴x∈[0，1]時，f（x）≤1
∴f（x）≤1（x∈[0，1]）
必要性：x∈[0，1]時f（x）≤1而
∴f（）=c+≤1
∴c
分析：（1）根據(jù)g（x）在（-1，1）上為單調(diào)遞增函數(shù)，轉(zhuǎn)化成g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，將參數(shù)c分離出來，研究函數(shù)再開區(qū)間上值域，即可求出c的范圍；
（2）先求出f（x），然后利用配方法求出函數(shù)的最大值，再從充分性與必要性兩方面進行證明即可．
點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題．