Question

已知函數(shù)f（x）=

1+ln(x+1)

x

（x＞0）．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）若f（x）＞

k

x+1

?x∈（0，+∞）恒成立，求正整數(shù)k的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的符號即可作出判斷；
（Ⅱ）f（x）＞

k

x+1

恒成立，化為h（x）=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．求導(dǎo)h′（x）=

x-1-ln(x+1)

x2

，記g（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性及g（x）的零點所在區(qū)間，進(jìn)而可得h（x）的最小值，得到k的范圍，由此可求最小正整數(shù)k．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．證明如下：
f′（x）=

1

x2

[

x

x+1

-1-ln(x+1)]=-

1

x2

[

1

x+1

+ln（x+1）]，
∵x＞0，∴x²＞0，

1

x+1

＞0，ln（x+1）＞0，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅱ）f（x）＞

k

x+1

恒成立，即h（x）=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．
h′（x）=

x-1-ln(x+1)

x2

，記g（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），
則g′（x）=

x

x+1

＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，
∴g（x）=0存在唯一實根a，且滿足a∈（2，3），g（a）=0，即a=1+ln（a+1），
當(dāng)x＞a時，g（x）＞0，h′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜a時，g（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（a）=

(a+1)[1+ln(a+1)]

a

=a+1∈（3，4），
∴k＜a+1，
故正整數(shù)k的最大值為3．

點評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生靈活運用知識分析解決問題的能力．