Question

如圖，設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，頂點M、N的距離為

5

，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點．
（ⅰ）試判斷點O到直線AB的距離是否為定值．若是請求出這個定值，若不是請說明理由；
（ⅱ）求|AB|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用e=

3

2

得

c

a

=

3

2

，由頂點M、N的距離為

5

，得a²+b²=5，由a²=b²+c²，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）（�。┓诸愑懻摚�直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消去y，利用OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，整理得5m²=4（1+k²），即可得出結(jié)論；
（ⅱ）在Rt△AOB中，d|AB|=|OA||OB|，利用基本不等式，即可求|AB|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由e=

3

2

得

c

a

=

3

2

由頂點M、N的距離為

5

，得a²+b²=5，
又由a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）（ⅰ）點O到直線AB的距離為定值
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當直線AB的斜率不存在時，則△AOB為等腰直角三角形，不妨設(shè)直線OA：y=x
將y=x代入

x2

4

+y2=1，解得x=±

2 5

5

，
∴點O到直線AB的距離為d=

2 5

5

；
②當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
代入橢圓方程，消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
即（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
∴（1+k²）

4m2-4

1+4k2

+km•（-

8km

1+4k2

）+m²=0，
整理得5m²=4（1+k²），
∴點O到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

=

2 5

5

，
綜上可知點O到直線AB的距離為定值

2 5

5

；
（ⅱ）在Rt△AOB中，d|AB|=|OA||OB|．
∵2|OA||OB|≤|OA|²+|OB|²=|AB|²，
∴|AB|²≥2d|AB|，
∴|AB≥2d=

4 5

5

，當|OA|=|OB|時取等號，即|AB|的最小值是

4 5

5

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，弦長公式、韋達定理是解決該類問題的常用知識，要熟練掌握．