【題目】已知平行四邊形ABCD中,∠A=45°,且AB=BD=1,將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖所示:
(1)求證:AB⊥CD;
(2)若M為AD的中點,求二面角A﹣BM﹣C的余弦值.
【答案】
(1)證明:∵AB=BD,∠A=45°,∴AB⊥BD,
又∵平面ABD⊥平面BCD,且BD是平面ABD與平面BCD的交線,
∴AB⊥面BCD,
∵CD平面BCD,∴AB⊥CD.
(2)解:以B為原點,在平面BCD中過B作BD的垂線為x軸,
BD為y軸,BA為z軸,建立空間直角坐標系,
則B(0,0,0),C(1,1,0),
D(0,1,0),A(0,0,1),M(0, ),
,
面ABM的法向量為 =(1,0,0),
設平面BMC的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=1,得 =(1,﹣1,1),
cos< >= = = ,
觀察知二面角A﹣BM﹣C為鈍角,
故二面角A﹣BM﹣C的余弦值為﹣ .
【解析】(1)推導出AB⊥BD,從而AB⊥面BCD,由此能證明AB⊥CD.(2)以B為原點,在平面BCD中過B作BD的垂線為x軸,BD為y軸,BA為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A﹣BM﹣C的余弦值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識,掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品有4件正品和2件次品混在了一起,現(xiàn)要把這2件次品找出來,為此每次隨機抽取1件進行測試,測試后不放回,直至次品全部被找出為止.
(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;
(2)設所要測試的次數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若g(x)=xf(x)+mx在區(qū)間(0,e]上的最大值為﹣3,求m的值;
(3)若x≥1時,有不等式f(x)≥ 恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣ax+b(a>0,b>0)有兩個不同的零點m,n,且m,n和﹣2三個數(shù)適當排序后,即可成為等差數(shù)列,也可成為等比數(shù)列,則a+b的值為( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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【題目】淘寶網(wǎng)賣家在某商品的所有買家中,隨機選擇男、女買家各50位進行調(diào)查,他們的評分等級如下表:
(1)從評分等級為(4,5]的人中隨機選取2人,求恰有1人是男性的概率.
(2)現(xiàn)規(guī)定評分等級在[0,3]為不滿意該商品,在(3,5]為滿意該商品.完成下列2×2列聯(lián)表,并幫助賣家判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為是否滿意該商品與性別有關.
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【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值,由測量結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).
(2)由直方圖可以認為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2.
①利用該正態(tài)分布,求P(187.8<Z<212.2);
②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)上的產(chǎn)品件數(shù),利用①的結(jié)果,求E(X).
附:≈12.2.
若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4.
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【題目】已知曲線為參數(shù)),為參數(shù)).
(1)化的參數(shù)方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)若上的點對應的參數(shù)為為上的動點,求的中點到直線為參數(shù))距離的最小值.
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【題目】定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對于任意給定的等比數(shù)列{an},{f(an)}仍是等比數(shù)列,則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的如下函數(shù):①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= ;④f(x)=ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB、CD是圓的兩條平行弦,BE∥AC,BE交CD于E、交圓于F,過A點的切線交DC的延長線于P,PC=ED=1,PA=2.
(1)求AC的長;
(2)試比較BE與EF的長度關系.
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