Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)A為其右頂點(diǎn)．過點(diǎn)B（1，0）作直線l與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF與直線x=3分別交于點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，依題意可得a、b、c的方程組，解之可得方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)E在x軸上方，可得；（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，寫直線的方程，聯(lián)立方程組，消y并整理得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0．進(jìn)而由根與系數(shù)的關(guān)系表示出向量的數(shù)量積為，由k的范圍可得其范圍，綜合可得．
解答：解：（Ⅰ）由題意，設(shè)橢圓的方程為，
依題意得解之可得a²=4，b²=1．
所以橢圓C的方程為．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)E在x軸上方，
易得，，所以．…（6分）
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由題意可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），顯然k=0時(shí)，不符合題意．
由消y并整理得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則．
直線AE，AF的方程分別為：，
令x=3，則．
所以，．…（10分）
所以
==
=
=
==．…（12分）
因?yàn)閗²＞0，所以16k²+4＞4，所以，即．
綜上所述，的取值范圍是．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬中檔題．