Question

11．已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且b²cos2A=b²-8c²
（1）求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$的值；
（2）若cosC=$\frac{15}{17}$，求tanA和tanB的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得cos²A=$\frac{^{2}-4{c}^{2}}{^{2}}$，由A為銳角，可解得sinA=$\frac{2c}$，由正弦定理得sinB=$\frac{2c}{a}$，sinC=$\frac{2{c}^{2}}{ab}$，將所求化簡(jiǎn)后代入即可得解．
（2）由（1）$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{2}$，可得tanA=$\frac{2tanB}{tanB-2}$，可求tanC=-tan（A+B）=$\frac{ta{n}^{2}B}{2ta{n}^{2}B-tanB+2}$，由cosC=$\frac{15}{17}$，可求tanC=$\frac{8}{15}$，從而解得tanB，tanA．

解答 解：（1）∵b²cos2A=b²-8c²
∴cos2A=1$-\frac{8{c}^{2}}{^{2}}$=2cos²A-1，解得：cos²A=$\frac{^{2}-4{c}^{2}}{^{2}}$，sin²A=1-cos²A=$\frac{4{c}^{2}}{^{2}}$，
∵A為銳角，可解得：sinA=$\frac{2c}$，
∵由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{\frac{2c}}$=$\frac{ab}{2c}$可得：sinB=$\frac{2bc}{ab}$=$\frac{2c}{a}$，sinC=$\frac{2{c}^{2}}{ab}$，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{sinBcosA+sinAcosB}{sinAsinB}$=$\frac{sinC}{sinAsinB}$=$\frac{\frac{2{c}^{2}}{ab}}{\frac{2c}•\frac{2c}{a}}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵cosC=$\frac{15}{17}$，C為銳角，
∴tanC=$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}C}-1}$=$\frac{8}{15}$，
∵由（1）有$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{2}$，
∴tanA=$\frac{2tanB}{tanB-2}$，
∵A+B+C=π，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{ta{n}^{2}B}{2ta{n}^{2}B-tanB+2}$，．
∴$\frac{8}{15}$=$\frac{ta{n}^{2}B}{2ta{n}^{2}B-tanB+2}$，
整理得tan²B-tanB+16=0，
解得：tanB=4，
將tanB=4代入得：tanA=$\frac{2tanB}{tanB-2}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．