Question

△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，當(dāng)A為

 

°時(shí)，cosA+2cos

B+C

2

取得最大值，且這個(gè)最大值為

 

．

Answer 1

分析：由A+B+C=180°得

B+C

2

=

π

2

-

A

2

，然后把已知條件分別利用二倍角的余弦函數(shù)公式和誘導(dǎo)公式化為關(guān)于sin

A

2

的二次三項(xiàng)式，然后配方求出這個(gè)式子的最大值及取最大值時(shí)sin

A

2

的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出此時(shí)的A的值．

解答：解：因?yàn)锳+B+C=180°，則cosA+2cos

B+C

2

=1-2sin2

A

2

+2cos（

π

2

-

A

2

）=1-2sin2

A

2

+2sin

A

2

=-2(sin

A

2

-

1

2

) 2+

3

2

，
所以當(dāng)sin

A

2

=

1

2

，因?yàn)?span id="lgt9vt4" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

A

2

為銳角，所以

A

2

=30°
即A=60°時(shí)，原式的最大值為

3

2

．
故答案為：60，

3

2

點(diǎn)評(píng)：此題是一道三角函數(shù)與二次函數(shù)綜合在一起的題，要求學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的余弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，要牢記特殊角的三角函數(shù)值，做題時(shí)注意角度的范圍．