（2012•湖北模擬）設直線l：x-y+m=0與拋物線C：y2=4x交于不同兩點A、B，F(xiàn)為拋物線的焦點．
（1）求△ABF的重心G的軌跡方程；
（2）如果m=-2，求△ABF的外接圓的方程．
分析：（1）設出A、B、G的坐標，聯(lián)立直線與拋物線，利用重心坐標公式，即可求得重心G的軌跡方程；
（2）確定AB的中垂線方程為x+y-6=0，令△ABF外接圓圓心為C（a，6-a），求出弦AB的長，C到AB的距離，利用|CA|=|CF|，即可求得圓心坐標與半徑，從而可得△ABF的外接圓的方程．
解答：解：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），F(xiàn)（1，0），重心G（x，y），
聯(lián)立直線與拋物線，可得
y2=4x
x-y+m=0
，消元可得y2-4y+4m=0
∴△＞0⇒m＜1且m≠-1（因為A、B、F不共線）
故
x=
x1+x2+1
3
=
y1+y2-2m+1
3
=
5-2m
3
y=
y1+y2
3
=
4
3

∴重心G的軌跡方程為y=
4
3
(x＞1且x≠
7
3
)（6分）
（2）m=-2，則y2-4y-8=0，設AB中點為（x0，y0）
∴y0=
y1+y2
2
=2，∴x0=y0-m=2-m=4
∴AB的中垂線方程為x+y-6=0
令△ABF外接圓圓心為C（a，6-a）
又|AB|=
1+
1
k2
|y1-y2|=4
6
，C到AB的距離為d=
|2a-8|
2

∴|CA|=|CF|⇒(2
6
)2+(
2a-8
2
)2=(a-1)2+(6-a)2⇒a=
19
2

∴C(
19
2
，-
7
2
)，∴|CF|2=(
17
2
)2+(
7
2
)2=
169
2

∴所求的圓的方程為(x-
19
2
)2+(y+
7
2
)2=
169
2
（7分）
點評：本題考查軌跡方程，考查圓的方程，解題的關鍵是確定圓的圓心與半徑，屬于中檔題．
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相關習題

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（2012•湖北模擬）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上有一個頂點到兩個焦點之間的距離分別為3+2
2
，3-2
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果直線x=t（t∈R）與橢圓相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），證明直線CA與直線BD的交點K必在一條確定的雙曲線上；
（3）過點Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與橢圓交于M、N兩點，與y軸交于點R，若
RM
=λ
MQ
，
RN
=μ
NQ
，證明：λ+μ為定值．

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（2012•湖北模擬）在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，點P在AM上，且滿足
AP
=2
PM
，則
PA
•(
PB
+
PC
)的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）已知函數(shù)y=g（x）的圖象由f（x）=sin2x的圖象向右平移φ（0＜φ＜π）個單位得到，這兩個函數(shù)的部分圖象如圖所示，則φ=
π
3
π
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則公比q等于
1
3
1
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）函數(shù)f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a為正常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）若存在x使不等式
x-m
f(x)
＞
x
成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實數(shù)x0，我們把|f（x0）-g（x0）|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差．求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

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