分析:先表示出bn,Sn,分n為正奇數(shù),正偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論,從bn-λSn>0中分離出參數(shù)λ后轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最小值即可,借助數(shù)列的單調(diào)性可求最值.
解答:解:由a
n=
[2
n-(-1)
n],得b
n=a
na
n+1=
[2n-(-1)n][2n+1-(-1)n+1],
S
n=a
1+a
2+a
3+…+a
n=
{(2+2
2+2
3+…+2
n)-[(-1)+(-1)
2+…+(-1)
n]}
=
[2n+1-2-],
①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),b
n-λS
n=
(2n+1)(2n+1-1)-
λ(2
n+1-1)>0對任意n∈N
*都成立,
因?yàn)?
n+1-1>0,所以
(2n+1)-
>0,即
λ<(2n+1)對任意正奇數(shù)n都成立,
又因?yàn)閿?shù)列{
(2n+1)}遞增,
所以當(dāng)n=1時(shí),
(2n+1)有最小值1,所以λ<1;
②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),b
n-λS
n=
(2n-1)(2n+1+1)-
λ(2n+1-2)>0,即
(2n-1)(2n+1+1)-λ(2n-1)>0對任意n∈N*都成立,
又因?yàn)?
n-1>0,所以
(2n+1+1)-λ>0,即
λ<(2
n+1+1)對任意正偶數(shù)n都成立,
又因?yàn)閿?shù)列{
(2n+1+1)}遞增,
所以當(dāng)n=2時(shí),
(2n+1+1)有最小值
,所以
λ<;
綜上所述,λ的取值范圍是(-∞,1).
故答案為:(-∞,1).
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列求和、數(shù)列與不等式的綜合,考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想,考查學(xué)生分析解決問題的能力,本題運(yùn)算量較大.