Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作斜率為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{BO}$，又點(diǎn)D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，試問點(diǎn)A，B，D，E四點(diǎn)是否共圓？若是，求出該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不是，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意，借助于點(diǎn)到直線的距離公式列關(guān)于a，c的方程組，求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）寫出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立求得A，B的坐標(biāo)，結(jié)合$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{BO}$求出D的坐標(biāo)，再由對稱性求得E的坐標(biāo)，然后求出AB、DE的垂直平分線方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)M的坐標(biāo)，再由|MA|=|MD|說明A，B，D，E四點(diǎn)共圓，并求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{2}{\sqrt{2}}=a}\end{array}\right.$，∴a=$\sqrt{2}$，c=1．
則b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由題意可知直線l的方程為$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得2x²-2x-1=0．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}\end{array}\right.$．
不妨設(shè)A（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$），B（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$），
再設(shè)D（x₀，y₀），
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{BO}$，得$（\frac{1-\sqrt{3}}{2}+{x}_{0}，\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+{y}_{0}）$=$（-\frac{1+\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}）$．
∴${x}_{0}=-1，{y}_{0}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，即D（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），則E（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$），${k}_{AB}=\frac{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{1+\sqrt{3}}{2}-\frac{1-\sqrt{3}}{2}}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
AB的垂直平分線方程為$y-\frac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}（x-\frac{1}{2}）$，即$y=\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{4}$；
DE的中點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），${k}_{DE}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
DE的垂直平分線方程為y=-$\sqrt{2}x$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{2}x}\\{y=\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{4}}\end{array}\right.$，解得：$x=\frac{1}{8}，y=-\frac{\sqrt{2}}{8}$．
∴兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為M（$\frac{1}{8}，-\frac{\sqrt{2}}{8}$）．
∵|MA|=$\sqrt{（\frac{1-\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{8}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{99}}{8}$．
|MD|=$\sqrt{（\frac{1}{8}+1）^{2}+（-\frac{\sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{99}}{8}$．
∴A，B，D，E四點(diǎn)共圓，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$（x-\frac{1}{8}）^{2}+（y+\frac{\sqrt{2}}{8}）^{2}=\frac{99}{64}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用向量法求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，考查計(jì)算能力，是中檔題．