Question

在直角坐標(biāo)系中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（1，0），平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足下列條件：(1)

GA

+

GB

+

GC

=

0

，（2）MA=MB=MC，(3)

GM

∥

AB

則△ABC的另一個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡方程為

x2+

y2

3

=1(y≠0)

．

Answer 1

分析：根據(jù)MA=MB，可得M在線段AB的中垂線上，從而可得M的坐標(biāo)，利用

GA

+

GB

+

GC

=

0

可得重心坐標(biāo)與C坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用MB=MC，即可得到定點(diǎn)C的軌跡方程．

解答：解：（1）設(shè)C（x，y），G（x₀，y₀），M（x_m，y_m）
∵M(jìn)A=MB，∴M在線段AB的中垂線上，
∵A（-1，0），B（1，0），∴x_m=0
∵

GM

∥

AB

，∴y_m=y₀…．
∵

GA

+

GB

+

GC

=

0

，∴（-1-x₀，-y₀）+（1-x₀，-y₀）+（x-x₀，y-y₀）=（0，0）
∴x₀=

x

3

，y₀=

y

3

，y_m=

y

3

∵M(jìn)B=MC，
∴

(1-0)2+(0- y 3 )2

=

(x-0)2+(y- y 3 )2

，
即x2+

y2

3

=1(y≠0)
∴定點(diǎn)C的軌跡方程為x2+

y2

3

=1(y≠0)
故答案為：x2+

y2

3

=1(y≠0)

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查曲線的軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．