Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)若函數(shù)存在極小值點(diǎn)，求的取值范圍；

(2)證明：．

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再討論時(shí)與時(shí)情況下導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定極值點(diǎn)取法，即得結(jié)果，（2）利用放縮法轉(zhuǎn)化證，()，利用二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性證不等式.

（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

①當(dāng)時(shí)，令，解得

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴是函數(shù)的極小值點(diǎn)，滿(mǎn)足題意.

②當(dāng)時(shí)，令，

，

令，解得，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

若，即時(shí)，

恒成立，

在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意.

若，即時(shí)，

，

∴，

又在上單調(diào)遞增，

∴在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴是的極小值點(diǎn)，滿(mǎn)足題意，

綜上，.

（2）當(dāng)時(shí)

若成立，

則必成立.

①若，則，

∴成立

∴成立.

②若，令，

,

令，,

∵,

∴,

∴在上單調(diào)遞增,

∴,

即,

∴在上單調(diào)遞增,

∴,

∴時(shí)，成立,

∴時(shí)，成立,

綜上，.