Question

已知f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（3）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間．

Answer 1

（1））根據(jù)題意可得

3+x＞0 3-x＞0

，解不等式可得-3＜x＜3
∴定義域?yàn)椋?3，3）
f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）=log₃（-x²+9）
令t═-x²+9，則t∈（0，9]，f（x）∈（-∞，2]
∴值域?yàn)椋?∞，2]．
（2）∵定義域?yàn)椋?3，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
∵f（-x）=log₃（3-x）+log₃（3+x）=f（x），
所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（3）∵t=9-x²在（-3，0]上單調(diào)遞增．在（0，3]上單調(diào)遞減
∵函數(shù)y=log₃t在（0，+∞）單調(diào)遞增
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（-3，0]，單調(diào)減區(qū)間[0，3）