【題目】已知橢圓:()的離心率為,設直線過橢圓的上頂點和右頂點,坐標原點到直線的距離為.

1)求橢圓的方程.

2)過點且斜率不為零的直線交橢圓,兩點,在軸的正半軸上是否存在定點,使得直線,的斜率之積為非零的常數(shù)?若存在,求出定點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】12)存在,

【解析】

(1)設直線的方程為,由離心率和原點到直線的距離為,可得關于的方程組,解方程組得即可得答案;

2)依題意可設直線的方程為,,直線方程代入曲線方程,利用判別式大于0的范圍,利用韋達定理可得的關系,并假設存在點

使命題成立,利用斜率公式代入坐標進行計算,將問題轉化為恒成立問題,即可得答案.

1)設橢圓半焦距為.根據(jù)題意得,橢圓離心率,即,

所以.

因為直線過橢圓的上頂點和右頂點,

所以設直線的方程為,即.

又由點到直線的距離為,得.

聯(lián)立①②解得.所以橢圓的方程為.

2)依題意可設直線的方程為,,.聯(lián)立.所以,所以.

所以,,

,.

假設存在定點(),使得直線,的斜率之積為非零常數(shù),

所以.

要使為非零常數(shù),當且僅當解得(負值舍去).

時,常數(shù)為.

所以軸的正半軸上存在定點,使得直線的斜率之積為常數(shù).

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】一汽車廠生產(chǎn)三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號,某月的產(chǎn)量如表(單位:輛):

轎車

轎車

轎車

舒適型

100

150

標準型

300

450

600

按分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有類轎車10.

1)求的值;

2)用隨機抽樣的方法從類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測它們的得分如下:48.6、9.2、9.68.7、9.39.0、8.2,把這8輛轎車的得分看作一個總體,從中任取一個數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】時值金秋十月,正是秋高氣爽,陽光明媚的美好時刻。復興中學一年一度的校運會正在密鑼緊鼓地籌備中,同學們也在熱切地期盼著,都想為校運會出一份力。小智同學則通過對學校有關部門的走訪,隨機地統(tǒng)計了過去許多年中的五個年份的校運會“參與”人數(shù)及相關數(shù)據(jù),并進行分析,希望能為運動會組織者科學地安排提供參考。

附:①過去許多年來學校的學生數(shù)基本上穩(wěn)定在3500人左右;②“參與”人數(shù)是指運動員和志愿者,其余同學均為“啦啦隊員”,不計入其中;③用數(shù)字12、3、4、5表示小智同學統(tǒng)計的五個年份的年份數(shù),今年的年份數(shù)是6;

統(tǒng)計表(一)

年份數(shù)x

1

2

3

4

5

“參與”人數(shù)(y千人)

1.9

2.3

2.0

2.5

2.8

統(tǒng)計表(二)

高一(3)(4)班參加羽毛球比賽的情況:

男生

女生

小計

參加(人數(shù))

26

b

50

不參加(人數(shù))

c

20

小計

44

100

1)請你與小智同學一起根據(jù)統(tǒng)計表(一)所給的數(shù)據(jù),求出“參與”人數(shù)y關于年份數(shù)x的線性回歸方程,并預估今年的校運會的“參與”人數(shù);

2)學校命名“參與”人數(shù)占總人數(shù)的百分之八十及以上的年份為“體育活躍年”.如果該校每屆校運會的“參與”人數(shù)是互不影響的,且假定小智同學對今年校運會的“參與”人數(shù)的預估是正確的,并以這6個年份中的“體育活躍年”所占的比例作為任意一年是“體育活躍年”的概率,F(xiàn)從過去許多年中隨機抽取9年來研究,記這9年中“體活躍年”的個數(shù)為隨機變量,試求隨機變量的分布列、期望和方差;

3)根據(jù)統(tǒng)計表(二),請問:你能否有超過60%的把握認為“羽毛球運動”與“性別”有關?

參考公式和數(shù)據(jù)一:,,,

參考公式二:,其中

參考數(shù)據(jù):

0.50

0.40

0.25

0.05

0.025

0.010

0.455

0.708

1.323

3.841

5.024

6.635

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線,(為參數(shù)),將曲線上的所有點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標縮短為原來的后得到曲線,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為。

1)求曲線的極坐標方程和直線l的直角坐標方程;

2)設直線l與曲線交于不同的兩點AB,點M為拋物線的焦點,求的值。

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【題目】畫糖是一種以糖為材料在石板上進行造型的民間藝術,常見于公園與旅游景點.某師傅制作了一種新造型糖畫,為了進行合理定價先進性試銷售,其單價(元)與銷量(個)相關數(shù)據(jù)如下表:

(1)已知銷量與單價具有線性相關關系,求關于的線性相關方程;

(2)若該新造型糖畫每個的成本為元,要使得進入售賣時利潤最大,請利用所求的線性相關關系確定單價應該定為多少元?(結果保留到整數(shù))

參考公式:線性回歸方程中斜率和截距最小二乘法估計計算公式:

.參考數(shù)據(jù):.

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【題目】食品安全問題越來越引起人們的重視,農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害,為了給消費者帶來放心的蔬菜,某農(nóng)村合作社每年投入200萬元,搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚,每個大棚至少要投入20萬元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜,根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入種黃瓜的年收入與投入(單位:萬元)滿足.設甲大棚的投入為(單位:萬元),每年兩個大棚的總收益為(單位:萬元)

1)求的值;

2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入,才能使總收益最大?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在正方體ABCD中,以D為原點建立空間直角坐標系,E為B的中點,F(xiàn)為的中點,則下列向量中,能作為平面AEF的法向量的是( )

A. (1,-2,4) B. (-4,1,-2)

C. (2,-2,1) D. (1,2,-2)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)當時,試判斷函數(shù)的極值情況,并說明理由;

2)若有兩個極值點,.

①求實數(shù)的取值范圍;

②證明:.注:是自然對數(shù)的底數(shù))

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【題目】在如圖所示的多面體中,,且,四邊形為正方形,為等邊三角形,平面平面.

1)求異面直線所成角的余弦值;

2)求二面角的正弦值.

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