Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，根據(jù)題意可得k=±1，所以雙曲線C的方程為，C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對稱，可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點(diǎn)T，使|QT|=|QF₁|，根據(jù)雙曲線的定義|TF₂|=2，再利用相關(guān)點(diǎn)代入法求出軌跡方程即可．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，即kx-y=0
∵該直線與圓 相切，
∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x…（3分）
故設(shè)雙曲線C的方程為，又∵雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為
∴2a²=2，a²=1，∴雙曲線C的方程為x²-y²=1…（6分）
（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF₂到T，使|QT|=|OF₁|
若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點(diǎn)T，使|QT|=|QF₁|…（8分）
根據(jù)雙曲線的定義|TF₂|=2，所以點(diǎn)T在以F₂為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)T的軌跡方程是①…（10分）
由于點(diǎn)N是線段F₁T的中點(diǎn)，設(shè)N（x，y），T（x_T，y_T）
則…（12分）
代入①并整理得點(diǎn)N的軌跡方程為 …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的有關(guān)性質(zhì)與定義，以及求軌跡方程的方法（如相關(guān)點(diǎn)代入法）．