已知f(x)=x2-2x-3,試討論函數(shù)f(5-x2)的單調(diào)性.
考點(diǎn):復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:令t=5-x2,顯然t≤5,且它的對(duì)稱軸為x=0.根據(jù)已知f(x)=x2-2x-3的對(duì)稱軸為x=1.再分①當(dāng) t=5-x2≥1 時(shí)、②當(dāng) t=5-x2<1 時(shí)兩種情況,分別根據(jù)f(t)以及函數(shù)t的單調(diào)性,利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律,求得f(5-x2)的單調(diào)性.
解答: 解:令t=5-x2,顯然它的對(duì)稱軸為x=0,且t≤5.
∵已知f(x)=x2-2x-3的對(duì)稱軸為x=1,
①當(dāng) t=5-x2≥1 時(shí),f(t)為增函數(shù),解得-2≤x≤2.
在區(qū)間[-2,0)上,函數(shù)t是增函數(shù),故函數(shù)f(5-x2)是增函數(shù);
在區(qū)間[0,2]上,函數(shù)t是減函數(shù),故函數(shù)f(5-x2)是減函數(shù).
②當(dāng) t=5-x2<1 時(shí),f(t)為減函數(shù),解得x<-2,或x>2.
在區(qū)間(-∞,-2)上,函數(shù)t是增函數(shù),故函數(shù)f(5-x2)是減函數(shù).
在區(qū)間(2,+∞)上,函數(shù)t是減函數(shù),故函數(shù)f(5-x2)是增函數(shù).
綜上可得,函數(shù)f(5-x2)的增區(qū)間為[-2,0)、(2,+∞),
減區(qū)間為[0,2]、(-∞,-2).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,二次函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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求證:
2sinx•cosx
(sinx+cosx-1)(sinx-cosx+1)
=
1+cosx
sinx

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若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2
3
,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足
CM
=
1
6
CB
+
2
3
CA
,則
MA
MB
=
 

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圓C1的方程為x2+(y-2)2=4,圓C2的方程為(x-6)2+(y-4)2=9,
(Ⅰ)判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系;
(Ⅱ)若直線l過圓C2的圓心,且與圓C1相切,求直線l的方程.

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在發(fā)生公共衛(wèi)生事件時(shí)期間,有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有發(fā)生為規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天,沒有一天新增疑似病例超過7人.”現(xiàn)有過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù),甲地:總體均值為2,總體方差為3;乙地:總體均值為3,中位數(shù)為4;丙地:總體均值為1,總體標(biāo)準(zhǔn)差大于0;丁地:中位數(shù)為2,眾數(shù)為3.試判斷哪地在這10天一定沒有發(fā)生規(guī)模群體感染事件,為什么?

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在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且cosA=
2
3

(1)求2sin2
B+C
2
+cos2(B+C)
;
(2)若a=
3
,求△ABC面積的最大值.

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若a1,a2,…a10這10個(gè)數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)為
.
x
,方差為0.33,則a1,a2,…a10,
.
x
這11個(gè)數(shù)據(jù)的方差為
 

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若雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
的左頂點(diǎn)與拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2),則雙曲線的焦距為
 

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函數(shù)f(x)=
1
9-x2
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