Question

【題目】己知是各項都為正數的數列，其前n項和為，且.

（1）求證：為等差數列；

（2）設，求的前n項和；

（3）求集合.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）

【解析】

（1）由消掉，再根據等差數列的定義即可證明；

（2）由（1）得，則，由此可求得()，則，分奇偶數即可求出；

（3）由得，設，則，則，由此可得當時，，記，則，，得，記，鄰項法可得數列單調遞減，可得n≥3時，恒成立，進而可求出答案．

解：（1）∵，∴，

當n≥2，時，，

即(n≥2，)，

又n＝1時，，得（舍負），

∴是以1為首項，1為公差的等差數列；

（2）由（1）知，，

又是各項都為正數，，∴，

當n≥2，時，，

又，∴()，

于是，

當n為奇數時，

，

當n為偶數時，

，

∴；

（3）由得，即，

設，則，

∴，

由，，

∴，則，

當時，顯然不成立；

當時，，則，

記，則，，得，

記，則恒成立，

故數列單調遞減，

又，，，則n≥3時，恒成立，

從而方程的解為t＝1，p＝2或t＝2，p＝1，

∴滿足條件的m，p存在，m＝4，p＝1或m＝4，p＝2，

∴．