Question

18．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，在三角形內(nèi)挖去半圓，圓心O在邊AC上，半圓與BC、AB相切于點(diǎn)C、M，與AC交于點(diǎn)N，則圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為$\frac{5\sqrt{3}}{27}π$．

Answer 1

分析 幾何體是圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體，是一個(gè)圓錐內(nèi)挖去一個(gè)球后剩余部分，求出圓錐的體積減去球的體積，可得幾何體的體積．

解答 解：幾何體是圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體，
是一個(gè)圓錐內(nèi)挖去一個(gè)球后剩余部分，球是圓錐的內(nèi)接球，
所以圓錐的底面半徑是：1，高為$\sqrt{3}$，
球的半徑為r，tan30°=$\frac{OC}{BC}$=r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以圓錐的體積：$\frac{1}{3}$×1²π×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$π，
球的體積：$\frac{4}{3}$π×（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）³=$\frac{4\sqrt{3}}{27}$π，
陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：$\frac{5\sqrt{3}}{27}π$，
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}}{27}π$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，熟練掌握各種旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，是解答的關(guān)鍵．