Question

實(shí)驗(yàn)中學(xué)的三名學(xué)生甲、乙、丙參加某大學(xué)自主招生考核測(cè)試，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次，若考核為合格，則授予10分降分資格；考核優(yōu)秀，授予20分降分資格．假設(shè)甲乙丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等次相互獨(dú)立．
（1）求在這次考核中，甲乙丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率．
（2）記在這次考核中甲乙丙三名同學(xué)所得降分之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

解：（1）記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A，“乙考核為優(yōu)秀”為事件B，“丙考核為優(yōu)秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件E．
則事件A、B、C是相互獨(dú)立事件，事件與事件E是對(duì)立事件，于是
P（E）=1-P（）=1-（1-）（1-）（1-）=．…（4分）
（2）ξ的所有可能取值為30，40，50，60．
P（ξ=30）=P（）=（1-）（1-）（1-）=，
P（ξ=40）=P（A）+P（）+P（）=，…（6分）
P（ξ=50）=P（AB）+P（AC）+P（）=，
P（ξ=60）=P（ABC）=．…（8分）
所以ξ的分布列為

ξ	30	40	50	60
P

∴Eξ=30×+40×+50×+60×=．…（12分）
分析：（1）記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A，“乙考核為優(yōu)秀”為事件B，“丙考核為優(yōu)秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件E．則事件A、B、C是相互獨(dú)立事件，事件與事件E是對(duì)立事件，于是利用間接法能夠求出甲乙丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率．
（2）ξ的所有可能取值為30，40，50，60．分別求出P（ξ=30），P（ξ=40），P（ξ=50），P（ξ=60）的值，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率和排列組合知識(shí)的靈活運(yùn)用．