Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{3}，x＞1}\\{x+2，x≤1}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（f（x））=a存在2個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為（　�。�

• A． [-24，0）
• B． （-∞，-24）∪[0，2）
• C． （-24，3）
• D． （-∞，-24]∪[0，2]

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{3}，x＞1}\\{x+2，x≤1}\end{array}\right.$的圖象，數(shù)形結(jié)合分類討論，可得不同情況下方程f（f（x））=a根的個(gè)數(shù)，綜合可得答案．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{3}，x＞1}\\{x+2，x≤1}\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

令t=f（x），則t∈（-∞，3]，
當(dāng)a＞3時(shí)，方程f（f（x））=f（t）=a無(wú)實(shí)根，方程f（f（x））=a存在0個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)2≤a≤3時(shí)，f（t）=a有1實(shí)根，t∈[0，1]，f（x）=t此時(shí)有1實(shí)根，故方程f（f（x））=a存在1個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)0≤a＜2時(shí)，f（t）=a有1實(shí)根，t∈[-2，0），f（x）=t此時(shí)有2實(shí)根，故方程f（f（x））=a存在2個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)-24≤a＜0時(shí)，f（t）=a有2實(shí)根，t₁∈[-26，-2），f（x）=t此時(shí)有2實(shí)根，t₂∈（1，3]，f（x）=t此時(shí)有1實(shí)根，故方程f（f（x））=a存在3個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)a＜-24時(shí)，f（t）=a有2實(shí)根，t₁∈（-∞，-26），f（x）=t此時(shí)有2實(shí)根，t₂∈（3，+∞），f（x）=t此時(shí)無(wú)實(shí)根，故方程f（f（x））=a存在2個(gè)實(shí)數(shù)根，
綜上所述：a∈（-∞，-24）∪[0，2），
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，難度中檔．