Question

已知圓O′：（x+2）²+y²=8及點(diǎn)A（2，0），在圓O′上任取一點(diǎn)B，連結(jié)AB并作AB的中垂線l，設(shè)l與直線O′B交于點(diǎn)P，若B取遍圓O′上的點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)B（x₀，y₀），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式可得線段AB的垂直平分線的斜率k=-

x0-2

y0

．線段AB的垂直平分線的方程為：y-

y0

2

=-

x0-2

y0

(x-

x0+2

2

)，直線O′B的方程為：y=

y0

x0+2

(x+2)，又(x0+2)2+

y

2 0

=8．聯(lián)立消去x₀，y₀即可得出．

解答： 解：設(shè)B（x₀，y₀），線段AB的中點(diǎn)M(

x0+2

2

，

y0

2

)，k_AB=

y0

x0-2

，
則線段AB的垂直平分線的斜率k=-

x0-2

y0

．
∴線段AB的垂直平分線的方程為：y-

y0

2

=-

x0-2

y0

(x-

x0+2

2

)，
直線O′B的方程為：y=

y0

x0+2

(x+2)，
又(x0+2)2+

y

2 0

=8．
聯(lián)立可得：x²-y²=2．
故答案為：x²-y²=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、線段的垂直平分線的方程、雙曲線的方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．