Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1（a∈R）
（1）若f（x）是R上的單調函數(shù)，求a的取值范圍；   
（2）若x=1是f（x）的一個極值點，求f（x）在x∈[t，1]（t＜1）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求導函數(shù)，然后根據(jù)f（x）是R上的單調函數(shù)，則f'（x）≥0恒成立，然后利用判別式建立不等關系，解之即可；
（2）根據(jù)x=1是f（x）的一個極值點則f'（1）=0求出a的值，然后利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調性，討論t的范圍，從而求出函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+1，
∵f（x）是R上的單調函數(shù)
∴f'（x）≥0恒成立即△=4a²-12≤0
解得-

3

≤a≤

3

（2）∵x=1是f（x）的一個極值點
∴f'（1）=4+2a=0即a=-2
∴f'（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）＞0
解得x＜

1

3

或x＞1
f'（x）＜0解得

1

3

＜x＜1
故f（x）在（-∞，

1

3

）上遞增，在（

1

3

，1）上遞減，（1，+∞）上遞增
又f（0）=f（1）=1
∴f（x）_min=

f(1)=1        ，0≤t＜1 f(t)=t3-2t2+t+1，t＜0

點評：本題主要考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，同時考查了轉化的思想和數(shù)形結合的思想，屬于中檔題．