【題目】觀察以下5個等式: ﹣1=﹣1
﹣1+3=2
﹣1+3﹣5=﹣3
﹣1+3﹣5+7=4
﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5

照以上式子規(guī)律:
(1)寫出第6個等式,并猜想第n個等式;(n∈N*
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第n個等式成立.(n∈N*

【答案】
(1)解:由已知中:

﹣1=﹣1

﹣1+3=2

﹣1+3﹣5=﹣3

﹣1+3﹣5+7=4

﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5

歸納可得:

第6個等式為﹣1+3﹣5+7﹣9+11=6

第n個等式為﹣1+3﹣5+7﹣9+…+(﹣1)n(2n﹣1)=(﹣1)nn


(2)解:下面用數(shù)學(xué)歸納法給予證明:﹣1+3﹣5+7﹣9+…+(﹣1)n (2n﹣1)=(﹣1)nn

①當(dāng)n=1時,由已知得原式成立;

②假設(shè)當(dāng)n=k時,原式成立,

即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+(﹣1)k (2k﹣1)=(﹣1)kk

那么,當(dāng)n=k+1時,

﹣1+3﹣5+7﹣9+…+(﹣1)k (2k﹣1)+(﹣1)k+1 (2k+1)

=(﹣1)kk+(﹣1)k+1 (2k+1)

=(﹣1)k+1(﹣k+2k+1)

=(﹣1)k+1 (k+1)

故n=k+1時,原式也成立,

由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+(﹣1)n(2n﹣1)=(﹣1)nn成立


【解析】(1)由已知中﹣1=﹣1,﹣1+3=2,﹣1+3﹣5=﹣3,﹣1+3﹣5+7=4,﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5,等式左邊有n個連續(xù)奇數(shù)相加減,右邊為n(n為偶數(shù))或n的相反數(shù)(n為奇數(shù)),進(jìn)而得到結(jié)論;(2)當(dāng)n=1時,由已知得原式成立,假設(shè)當(dāng)n=k時,原式成立,推理可得n=k+1時,原式也成立,①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+(﹣1)n(2n﹣1)=(﹣1)nn成立.
【考點(diǎn)精析】掌握歸納推理是解答本題的根本,需要知道根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理.

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