已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)＝1，n∈N

(Ⅰ)求｛an｝的通項公式；

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足an(2n－1)＝1并記Tn為｛bn｝的前n項和，求證：3T＋1＞log2(an＋3)，n∈N．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假設(shè)a1＝S1＞1，因此a1＝2.

　　又由an+1＝Sn+1－Sn＝，

　　得an+1－an－3＝0或an+1＝－an

　　因an＞0，故an+1＝－an不成立，舍去.

　　因此an+1－an－3＝0.從而｛an｝是公差為3，首項為2的等差數(shù)列，故｛an｝的通項為an＝3n－2.

　　(Ⅱ)證法一：由可解得

　　；

　　從而.

　　因此.

　　令，則

　　.

　　因，故

　　.

　　特別的.從而，

　　即.

　　證法二：同證法一求得bn及Tn.

　　由二項式定理知當c＞0時，不等式

　　成立.

　　由此不等式有

　　

　　

　　＝.

　　證法三：同證法一求得bn及Tn.

　　令An＝，Bn＝，Cn＝.

　　因，因此.

　　從而

　�。�.


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