Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x2﹣3x+1， ，（A≠0）
（1）當(dāng)0≤x≤ 時(shí)，求y=f（sinx）的最大值；
（2）若對任意的x1∈[0，3]，總存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍；
（3）問a取何值時(shí)，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有兩解？

Answer 1

【答案】
（1）解：y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1設(shè)t=sinx，x ，則0≤t≤1

∴

∴當(dāng)t=0時(shí)，ymax=1

（2）解：當(dāng)x1∈[0，3]∴f（x1）值域?yàn)?

當(dāng)x2∈[0，3]時(shí)，則 有

② 當(dāng)A＞0時(shí)，g（x2）值域?yàn)?

②當(dāng)A＜0時(shí)，g（x2）值域?yàn)?

而依據(jù)題意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集

則 或

∴A≥10或A≤﹣20

（3）解：2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化為2sin2x﹣2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解

換t=sinx則2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情況如下：

① 當(dāng)在（﹣1，1）上只有一個(gè)解或相等解，x有兩解（5﹣a）（1﹣a）≤0或△=0

∴a∈[1，5]或

②當(dāng)t=﹣1時(shí)，x有惟一解

③當(dāng)t=1時(shí)，x有惟一解

故a∈（1，5）∪{ }

【解析】（1）由已知可得，y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1設(shè)t=sinx，由x 可得0≤t≤1，從而可得關(guān)于 t的函數(shù) ，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求（2）依據(jù)題意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集，要求 A的取值范圍，可先求f（x1）值域，然后分①當(dāng)A＞0時(shí)，g（x2）值域②當(dāng)A＜0時(shí)，g（x2）值域，建立關(guān)于 A的不等式可求A 的范圍．（3）2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化為2sin2x﹣2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解令t=sinx則2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情況可結(jié)合兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況討論．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)的最值，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減；函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，即可以解答此題．