Question

若f（x）=cos²x+asin（

3π

2

+x）的最小值為-6，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先將解析式化簡(jiǎn)為關(guān)于cosx的二次函數(shù)形式，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性換元，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的閉區(qū)間上的最值解答．

解答： 解：由已知f（x）=cos²x+asin（

3π

2

+x）=cos²x-acosx，
令t=cosx，則-1≤t≤1，則f（t）=t²-at=（t-

a

2

）²-

a2

4

，
①當(dāng)

a

2

∈[-1，1]時(shí)，f（t）的最小值為-

a2

4

=-6，解得a=±2

6

∉[-1，1]；不合題意；
②當(dāng)

a

2

＞1時(shí)，f（t）在[-1，1]是減函數(shù)，f（t）的最小值為f（1）=1-a=-6，解得a=7，滿足題意；
③當(dāng)

a

2

＜-1時(shí)，f（t）在[-1，1]是增函數(shù)，f（t）的最小值為f（-1）=1+a=-6，解得a=-7，滿足題意；
綜上a=7或-7；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及利用換元的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的閉區(qū)間上的最值求法，同時(shí)考查了討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．