Question

如圖，我海監(jiān)船在D島海域例行維權巡航，某時刻航行至A處，此時測得其東北方向與它相距16海里的B處有一外國船只，且D島位于海監(jiān)船正東14

2

海里處．
（Ⅰ）求此時該外國船只與D島的距離；
（Ⅱ）觀測中發(fā)現(xiàn)，此外國船只正以每小時4海里的速度沿正南方向航行，為了將該船攔截在離D島12海里處，不讓其進入D島12海里內的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，AB=16，AD=14

2

，∠BAD=45°，△ABD中，由余弦定理求解得BD的值，即為所求．
（Ⅱ）過點B作BH⊥AD，H為垂足，AH和以點D為圓心、以12為半徑的圓相交于點C，則由題意可得，我海監(jiān)船在點C處攔截住外國船只時，我海監(jiān)船的速度
v取得最小值．求得AH=BH、DH的值，再求得CH、AC、BC的值，可得外國船只沿正南方向航行的時間，從而求得我海監(jiān)船的速度v，由tan∠CAH=

CH

AH

求得∠CAH 的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得，AB=16，AD=14

2

，∠BAD=45°，
△ABD中，由余弦定理可得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠BAD
=16²+(14

2

)2-32×14

2

×

2

2

，
解得BD=200（海里），即該外國船只與D島的距離為10

2

海里．
（Ⅱ）過點B作BH⊥AD，H為垂足，AH和以點D為圓心、以12為
半徑的圓相交于點C，
則由題意可得，我海監(jiān)船在點C處攔截住外國船只時，我海監(jiān)船的
速度v取得最小值．
由于AB=16，∠BAD=45°，CD=12，AD=14

2

，∴AH=BH=8

2

，DH=6

2

．
由勾股定理求得CH=

CD2-DH2

=6

2

，∴AC=

AH2+CH2

=10

2

，BC=BH-CH=8

2

-6

2

=2

2

，
故外國船只沿正南方向航行的時間為

2 2

4

=

2

2

，故我海監(jiān)船的速度v=

AC

2 2

=20（小時）．
此時，由tan∠CAH=

CH

AH

=

6 2

8 2

=

3

4

可得∠CAH=arctan

3

4

，即我海監(jiān)船的航向為東偏北arctan

3

4

弧度．

點評：本題主要考查解三角形的實際應用，直角三角形中的邊角關系、余弦定理的應用，屬于難題．