Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+n（n≥2，n∈N^*）．且b_n=+λ為等比數(shù)列，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)λ及數(shù)列{b_n}、{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，求S_n；
（Ⅲ）令c_n=，數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和為T_n．求證：對任意n∈N^*，都有T_n＜3．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2，n∈N^*時，，
∴，即，故λ=1時
有b_n=2b_n-1，而
b_n=2•2^n-1=2ⁿ，從而a_n=n•2ⁿ-n
（Ⅱ）S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ-（1+2+…+n）
記R_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ
則R_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ+1
相減得：-R_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹-
（Ⅲ）
=
n≥2時，

=2+1-＜3
而T₁==2＜3
∵?n∈N^*，7_n＜3．
分析：（Ⅰ） 由b_n=+λ為等比數(shù)列，及a_n=a_n-1+n（n≥2，n∈N^*）可求得λ及數(shù)列{b_n}、{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）求得{a_n}的通項(xiàng)公式，利用分組求和和錯位相減法求和，（Ⅲ）把數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=中，放縮法證明都有T_n＜3．
點(diǎn)評：考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的求法，利用分組求和和錯位相減法求和以及利用放縮法把不能求和的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為可求和的數(shù)列問題，及裂項(xiàng)相消法求和，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，此題運(yùn)算量大，放縮法技巧性強(qiáng)，加大了試題的難度，屬難題．