精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

已知向量 $數(shù)學公式$ 、 $數(shù)學公式$ 夾角為θ， $數(shù)學公式$ ， $數(shù)學公式$ ，點M在直線OB上，且 $數(shù)學公式$ 的最小值為 $數(shù)學公式$ ，則sinθ的值為________．

$\text{[math]}$
分析：通過對M是在直線OB上還是在OB的反向延長線上討論，得到兩個向量的夾角，再將 $\text{[math]}$ 平方，利用向量模的平方等于向量的平方，列出關(guān)于a，θ的函數(shù)，通過公式求出對稱軸，求出二次函數(shù)的最小值，列出方程，求出角的正弦．
解答：設(shè) $\text{[math]}$ （a＞0）
①當M與B在O的同側(cè)時，
∵ $\text{[math]}$
=9+6cosθ•a+a²
對稱軸為a=-3cosθ＜0
無最小值，故舍去
②當M與B在O的兩側(cè)時，
$\text{[math]}$
=9-6cosθa+a²
對稱軸為a=3cosθ＞0
所以當a=3cosθ最小
$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
故答案為 $\text{[math]}$
點評：解決向量模的問題，一般利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的運算法則展開即可．在利用向量的數(shù)量積公式時有定注意向量夾角的值．

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