Question

7．已知△ABC的內角分別為∠A、∠B、∠C．
（1）求證：sin$\frac{B+C}{2}$=cos$\frac{A}{2}$；
（2）若lgsinA=0，且sinB、sinC是關于x的方程4x²-2（$\sqrt{3}$+1）x+k=0的兩個根，求實數k的值．

Answer 1

分析 （1）由三角形內角和定理及誘導公式即可證明．
（2）由lgsinA=0，解得：sinA=1，結合A的范圍，可得A=$\frac{π}{2}$．由韋達定理及誘導公式可得sinB+cosB=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{4}$，兩邊平方解得：sin2B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得sinBsinC=$\frac{1}{2}$sin2B=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{k}{4}$，即可解得k的值．

解答 解：（1）證明：左邊=sin$\frac{B+C}{2}$=sin（$\frac{π-A}{2}$）=sin（$\frac{π}{2}-\frac{A}{2}$）=cos$\frac{A}{2}$=右邊，從而得證；
（2）∵lgsinA=0，解得：sinA=1，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{2}$．
∵sinB、sinC是關于x的方程4x²-2（$\sqrt{3}$+1）x+k=0的兩個根，
∴sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{π}{2}$-B）=sinB+cosB=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{4}$，兩邊平方可得：1+sin2B=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$，解得：sin2B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinBsinC=sinBsin（$\frac{π}{2}-B$）=sinBcosB=$\frac{1}{2}$sin2B=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{k}{4}$，解得：k=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角形內角和定理，同角三角函數關系式及誘導公式的應用，考查了韋達定理，倍角公式的應用及計算能力，屬于中檔題．