Question

已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，對任意實數(shù)m、n都滿足f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且f(－)＝0，當(dāng)x＞－時，f(x)＞0． (1) 證明：f(x)是增函數(shù) (2) 解不等式1＋f≤f(1)＋f(ax)(a＞0)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：設(shè)x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f［(x2－x1)＋x1］－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－l－f(x1)＝f(x2－x1)－1＝f［(x2－x1)－］． 　　∵x2－x1－＞－，∴f(x2－x1－)＞0． 　　∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)是增函數(shù)．
(2)	已知1＋f≤f(1)＋f(ax)，即f≤f(1)＋f(ax)－1＝f(1＋ax)． 　　∵f(x)是增函數(shù)，∴＋≤1＋ax． 　　又≥1，∴1≤1＋ax，即ax≥0(a＞0)． 　　∴有 　　∴當(dāng)0＜a＜1時，解集為［0，］；當(dāng)a≥1時，解集為［0，＋∞］． 　　點評：這是一個抽象函數(shù)，要證明它在R上為增函數(shù)，我們可直接利用單調(diào)性的定義去證明，關(guān)鍵是如何運(yùn)用條件f(－)＝0且當(dāng)x＞－時f(x)＞0．在解決第(2)題時，我們?nèi)绾问埂白兞俊睆暮瘮?shù)符號中“脫穎而出”，此時利用增函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵