Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+ ．
（I）討論函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（II）設(shè)函數(shù)f（x）存在兩個極值點，并記作x1 ， x2 ， 若f（x1）+f（x2）＞4，求正數(shù)a的取值范圍；
（III）求證：當a=1時，f（x）＞ （其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，（*）

當a≥2時，∵x＞0，∴ ，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

當0＜a＜2時，由f'（x）=0，得x2+a（a﹣2）=0，解得 （負值舍去）， ，

所以當x∈（0，x2）時，x2+a（a﹣2）＜0，從而f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，x2）上是減函數(shù)；

當x∈（x2，+∞）時，x2+a（a﹣2）＞0，從而f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（x2，+∞）上是增函數(shù)．

綜上，當a≥2時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

當0＜a＜2時，函數(shù)f（x）在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a≥2時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）無極值點；

要使函數(shù)f（x）存在兩個極值點，必有0＜a＜2，且極值點必為 ， ，

又由函數(shù)定義域知，x＞﹣1，則有 ，即 ，化為（a﹣1）2＞0，所以a≠1，

所以，函數(shù)f（x）存在兩個極值點時，正數(shù)a的取值范圍是（0，1）∪（1，2）．

由（*）式可知， ，

f（x1）+f（x2）

=ln（1+x1）+ +ln（1+x2）+

=ln（1+x1+x2+x1x2）+

=ln[（a﹣1）2]+

=ln[（a﹣1）2]+ ﹣2；

不等式f（x1）+f（x2）＞4化為 ，

令a﹣1=t（a∈（0，1）∪（1，2）），所以t∈（﹣1，0）∪（0，1），

令 ，t∈（﹣1，0）∪（0，1）．

當t∈（﹣1，0）時， ， ，所以g（t）＜0，不合題意；

當t∈（0，1）時， ， ，

所以g（t）在（0，1）是減函數(shù)，所以 ，適合題意，即a∈（1，2）．

綜上，若f（x1）+f（x2）＞4，此時正數(shù)a的取值范圍是（1，2）．

（Ⅲ）證明：當a=1時， ，

不等式 可化為 ，所以

要證不等式 ，即證 ，即證 ，

設(shè) ，則 ，

在（0，1）上，h'（x）＜0，h（x）是減函數(shù)；

在¨1+∞）上，h'（x）＞0，h（x）是增函數(shù)．

所以h（x）≥h（1）=1，

設(shè) ，則（x）是減函數(shù)，

所以（x）＜（0）=1，

所以（x）＜h（x），即 ，

所以當a=1時，不等式 成立

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出x1，x2，得到f（x1）+f（x2）的解析式，問題轉(zhuǎn)化為 ，令a﹣1=t（a∈（0，1）∪（1，2）），所以t∈（﹣1，0）∪（0，1），令 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為證明 ，即證 ，設(shè) ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．